Investigación

Dos trabajos de fin de grado sobre el mismo parámetro, mirado desde dos sitios. El de Física está depositado. El de Matemáticas se defendió el 23 de septiembre de 2026.

Trabajo de fin de grado en Física · 2025

Aplicaciones del formalismo de Koopman en la dinámica de sistemas estadísticos híbridos clásico-cuánticos

Director: Jesús Clemente Gallardo · Departamento de Física Teórica · Universidad de Zaragoza · julio de 2025

En corto

En mecánica clásica una partícula tiene posición y momento a la vez. En mecánica cuántica no puede tenerlos. El problema aparece cuando hay que describir un sistema en el que conviven las dos cosas, por ejemplo una molécula en la que los núcleos se tratan como clásicos y los electrones como cuánticos: no basta con poner las dos teorías una al lado de la otra, porque no hablan el mismo idioma.

El formalismo de Koopman y von Neumann permite escribir la mecánica clásica con las herramientas de la cuántica, operadores sobre un espacio de Hilbert, lo que da un idioma común. Sobre esa base, el Modelado Dinámico Operacional introduce un parámetro continuo $\kappa$ que vale $\kappa = 0$ en el extremo clásico y $\kappa = 1$ en el cuántico. El trabajo recorre ese tránsito con un modelo numérico de osciladores armónicos acoplados y mira qué ocurre por el camino.

Resumen

El presente Trabajo de Fin de Grado aborda el problema fundamental de la dinámica en sistemas híbridos clásico-cuánticos, un área de intersección crucial para diversas ramas de la física y la química. Utilizando como base el formalismo de Koopman-von Neumann (KvN) y su generalización a través del Modelado Dinámico Operacional (ODM), se explora un marco teórico unificado que permite una descripción consistente de la interacción entre grados de libertad clásicos y cuánticos. Mediante la implementación de un modelo numérico de osciladores armónicos acoplados, se investiga la transición entre los regímenes clásico y cuántico, controlada por un parámetro de deformación continuo, $\kappa$ .

Primera página de la memoria del trabajo de fin de grado en Física — Fig. 1 Primera página de la memoria, tal y como está depositada.

Zaguán · registro 166671 Código del modelo numérico

Trabajo de fin de grado en Matemáticas · 2026

El formalismo ODM en sistemas híbridos clásico-cuánticos

Director: Jesús Clemente Gallardo · Universidad de Zaragoza · defendido el 23 de septiembre de 2026

El mismo parámetro $\kappa$ , pero por su lado geométrico: como una familia continua de polarizaciones reales sobre el espacio de fases doble, construida mediante cuantización geométrica.

Fig. 2 La familia de polarizaciones que recorre κ, de la vertical de Koopman-von Neumann a la de Wigner. El operador de posición es multiplicativo solo en los dos extremos.

Defendido el 23 de septiembre de 2026. Lo enlazaré aquí cuando esté en Zaguán.

Microcharla · ENEM

Complejidad computacional a través del universo de Professor Layton

Una charla de unos veinte minutos para estudiantes de matemáticas de todos los cursos, construida sobre una idea sencilla: los puzles de una saga de videojuegos sirven para subir, uno a uno, los pisos de la torre de complejidad. Deslizar bloques para sacar un coche es PSPACE-completo. Completar un tablero de reinas es NP-completo. El camino más largo entre dos puntos también.

La trampa, que la charla dice en voz alta, es que un tablero concreto siempre se resuelve en tiempo constante consultando una tabla. Lo que es difícil es la familia generalizada a un tablero de $n \times n$ . Y hay un final que no esperaba al empezar: por encima de PSPACE no hay ningún puzle de la saga, y no es casualidad, porque son juegos de un solo jugador con información completa sobre un tablero de tamaño polinómico.

Fig. 3 Los pisos que la charla recorre, en el orden en que los recorre, y el techo con el que termina: por encima de PSPACE no hay ningún puzle de la saga, y no es casualidad.